!!運動のモード解析 // 【状態方程式】 {{ref_image SE.png}} の一般解を求める．正方行列 {{ref_image AR.png}} の固有値，右固有ベクトル，左固有ベクトルをそれぞれ {{ref_image lvw.png}} また， {{ref_image LVW2.png}} とする．このとき {{ref_image LVWA.png}} が成り立つ．一般に必要な状態変数のみで航空機の運動を記述した場合，その状態方程式のA行列は重複する固有値を持たない．ここで，初期値x0に対する状態方程式の一般解は， {{ref_image IPPAN1.png}} である．さらに，A行列を対角化することで変形すると， // 　 ---- !【一般解】 {{ref_image IPPAN2.png}} ---- 　 となる．特にu(t)=0のときは， // 　 ---- !【初期値応答】 {{ref_image IR.png}} ---- 　 // となり，初期値応答が各モードの重ねあわせで表現されることがわかる．行列Aは実数行列であるため，その固有値，固有ベクトルは実数もしくは共役な複素数のペアで現れる．jとj+1番目の固有値，固有ベクトルが共役な複素数として， {{ref_image lvwj.png}} とおく．これらを【初期値応答】に代入しj番目のモードを取り出すと， {{ref_image MODE.png}} となる． {{ref_image c1n.png}} の比は固有ベクトルの各要素の絶対値の比に一致し， {{ref_image phai1n.png}} は固有ベクトルの各要素の偏角の差に一致する．従ってA行列の固有値，固有ベクトルを調べることで，初期値応答の性質を詳しく理解できる． // // :■数値例: CONVAIR 880MがU0 =68.9 [m/s]，W0=6.26 [m/s], θ0=5.2 [deg]水平直線飛行しているときの状態変数とA行列は， {{ref_image NE.png}} である．これらのA行列の固有構造を計算する． 【縦運動の固有値，固有ベクトル】 {{ref_image ESLONG.png}} 【横・方向運動の固有値，固有ベクトル】 {{ref_image ESLAT.png}} !!縦運動 　数値例の縦運動の固有値-0.64±0.47iのモードは-0.014±0.13iのモードと比べて振動が速く減衰も大きい．これを短周期モードと呼ぶ．一方-0.014±0.13iのモードを長周期モード，もしくはフゴイドモードと呼ぶ．この数値例に限らず，'''一般に航空機の縦運動には減衰が強く振動数も速い短周期モードと，比較的減衰が弱く振動数も遅い長周期モードが存在する．''' {{ref_image LONGE.png}} すでに述べたように，固有ベクトルの各要素の絶対値を比較することで，それぞれのモードで卓越した状態量を調べることができる．数値例において短周期モードの固有ベクトルuに対応した要素-0.99とαに対応した要素(0.068-0.10i)の絶対値にU0をかけて比較すると，uの振動があまり起こっていないことがわかる．また長周期モードでは短周期モードに比べてqの振動が小さい．これらのモードの特徴を利用して次数の低い運動の近似式を導くことができる．式を簡単にするため，釣合状態でθ0=0となるように座標を定める．これを安定軸と呼ぶ．さらに値の小さな微係数を {{ref_image XZ0.png}} として省略する．【縦の状態方程式】において，u=0としαとqの式を取り出し，エレベータ入力のみを考える． // 　 ---- !【短周期近似】 {{ref_image SP1.png}} 短周期モード近似式の特性方程式は， {{ref_image SP2.png}} である．従って {{ref_image SP3.png}} である． ---- 　 【縦の線形化運動方程式】において，u=0としてモーメント式を省略する． {{ref_image LP1.png}} さらに {{ref_image qtheta.png}} を代入して状態方程式の形に直す． 　 ---- !【長周期近似】 {{ref_image LP2.png}} 特性方程式は， {{ref_image LP3.png}} である． ---- !!横・方向運動　 数値例の固有値-1.5のモードはロールモードと呼ばれ減衰が強くロール運動が卓越する．固有値-0.12±1.0iのモードはダッチロールモードと呼ばれローリングとヨーイングが練成した比較的減衰の弱い振動モードである．また {{ref_image psibeta.png}} が成り立つ．固有値-0.0091のモードはスパイラルモードと呼ばれ，時定数の小さな発散もしくは収束するモードである．'''このように航空機の横方向運動には，減衰の強いロールモード，振動するダッチロールモード，穏やかに減衰もしくは発散するスパイラルモードが存在する．''' {{ref_image LATE.png}} 横・方向運動には縦運動ほど精度が良く使いやすい近似式は無い．以下に簡単な近似式を与える． ヨーイングの式において {{ref_image pbetapsir.png}} とすると， 　 ---- !【ダッチロール近似】 {{ref_image DR1.png}} 特性方程式は {{ref_image DR2.png}} である． ---- 　 次にローリングの式でp以外の項をすべて0とおくと 　 ---- !【ロール近似】 {{ref_image ROLL.png}} ---- を得る． 　 '''　これら近似式の利点は，伝達関数の零点，極と安定微係数の関係が明らかになることである．従って飛行条件や微係数の不確かさの運動特性への影響や，機体形状と運動特性の関係を評価することができる．''' ---- [[UAVの作り方へ戻る|HowtoMakeUAV]]