運動のモード解析
【状態方程式】
の一般解を求める．正方行列
の固有値，右固有ベクトル，左固有ベクトルをそれぞれ
また，
とする．このとき
が成り立つ．一般に必要な状態変数のみで航空機の運動を記述した場合，その状態方程式のA行列は重複する固有値を持たない．ここで，初期値x0に対する状態方程式の一般解は，
である．さらに，A行列を対角化することで変形すると，
【一般解】
となる．特にu(t)=0のときは，
【初期値応答】
となり，初期値応答が各モードの重ねあわせで表現されることがわかる．行列Aは実数行列であるため，その固有値，固有ベクトルは実数もしくは共役な複素数のペアで現れる．jとj+1番目の固有値，固有ベクトルが共役な複素数として，
とおく．これらを【初期値応答】に代入しj番目のモードを取り出すと，
となる．
の比は固有ベクトルの各要素の絶対値の比に一致し，
は固有ベクトルの各要素の偏角の差に一致する．従ってA行列の固有値，固有ベクトルを調べることで，初期値応答の性質を詳しく理解できる．
- ■数値例
である．これらのA行列の固有構造を計算する．
【縦運動の固有値，固有ベクトル】
【横・方向運動の固有値，固有ベクトル】
縦運動
数値例の縦運動の固有値-0.64±0.47iのモードは-0.014±0.13iのモードと比べて振動が速く減衰も大きい．これを短周期モードと呼ぶ．一方-0.014±0.13iのモードを長周期モード，もしくはフゴイドモードと呼ぶ．この数値例に限らず，一般に航空機の縦運動には減衰が強く振動数も速い短周期モードと，比較的減衰が弱く振動数も遅い長周期モードが存在する．
すでに述べたように，固有ベクトルの各要素の絶対値を比較することで，それぞれのモードで卓越した状態量を調べることができる．数値例において短周期モードの固有ベクトルuに対応した要素-0.99とαに対応した要素(0.068-0.10i)の絶対値にU0をかけて比較すると，uの振動があまり起こっていないことがわかる．また長周期モードでは短周期モードに比べてqの振動が小さい．これらのモードの特徴を利用して次数の低い運動の近似式を導くことができる．式を簡単にするため，釣合状態でθ0=0となるように座標を定める．これを安定軸と呼ぶ．さらに値の小さな微係数を
として省略する．【縦の状態方程式】において，u=0としαとqの式を取り出し，エレベータ入力のみを考える．
【短周期近似】
短周期モード近似式の特性方程式は，
である．従って
である．
【縦の線形化運動方程式】において，u=0としてモーメント式を省略する．
さらに
を代入して状態方程式の形に直す．
【長周期近似】
特性方程式は，
である．
横・方向運動
数値例の固有値-1.5のモードはロールモードと呼ばれ減衰が強くロール運動が卓越する．固有値-0.12±1.0iのモードはダッチロールモードと呼ばれローリングとヨーイングが練成した比較的減衰の弱い振動モードである．また
が成り立つ．固有値-0.0091のモードはスパイラルモードと呼ばれ，時定数の小さな発散もしくは収束するモードである．このように航空機の横方向運動には，減衰の強いロールモード，振動するダッチロールモード，穏やかに減衰もしくは発散するスパイラルモードが存在する．
横・方向運動には縦運動ほど精度が良く使いやすい近似式は無い．以下に簡単な近似式を与える．
ヨーイングの式において
とすると，
【ダッチロール近似】
特性方程式は
である．
次にローリングの式でp以外の項をすべて0とおくと
【ロール近似】
を得る．
これら近似式の利点は，伝達関数の零点，極と安定微係数の関係が明らかになることである．従って飛行条件や微係数の不確かさの運動特性への影響や，機体形状と運動特性の関係を評価することができる．